lunes, 17 de abril de 2017

Probabilidad

Aquí os dejo enlace a un PDF con apuntes + actividades. Debéis leer el punto 3, que es lo que nos falta del tema y hacer las actividades (punto 8 del PDF)
Para cualquier duda podéis preguntar a algún profesor de Matemáticas o escribir a mi correo: ines.hernandez@iesandevalo.es

Aquí os dejo también algunas actividades resueltas a modo de ejemplo: ACTIVIDADES RESUELTAS.

Progresiones

Enlace a apuntes+actividades para trabajar en el aula.

jueves, 16 de febrero de 2017

Problemas Sistema Métrico Decimal

PROBLEMAS SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

1.- David compra un rollo de papel pintado que mide 15m y 50cm. Corta cuatro trozos de 2m y 40cm cada uno, ¿cuántos metros de papel le quedan?

2.- Paula abre una botella de un litro de zumo. Llena 3 vasos de 20cl cada uno. ¿Qué cantidad de zumo queda en la botella?

3.- Un tarro de mermelada de 100gr cuenta 90 céntimos. ¿Cuántos euros cuestan tres cuartos de kilo de esa mermelada?

4.- Un bidón se llena de agua con 4 botellas de 75cl cada una. ¿Cuál es la capacidad en litros del bidón?

5.- Un incendio forestal ha quemado la tercera parte de un bosque de 12300ha. Expresa la superficie del bosque en m². ¿Cuánta superficie del bosque se ha quemado?. Expresa el resultado en ha y en m 2

Derivada y aplicaciones. ASÍNTOTAS.

Apuntes + ejercicios propuestos de DERIVADAS Y SUS APLICACIONES

ASÍNTOTAS:

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales de una función son rectas horizontales de la forma y=a. Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales: una por la izquierda (cuando x \rightarrow -\infty) y otra por la derecha (cuando x \rightarrow \infty). Se calculan de la siguiente forma:
Si \displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=a}, entonces y=a es una asíntota horizontal para f(x) (por la izquierda).
Si \displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=b}, entonces y=b es una asíntota horizontal para f(x) (por la derecha).
Por tanto podemos encontrarnos los siguientes casos:
  1. Funciones que no tienen asíntotas horizontales
    Por ejemplo, f(x)=x^3 cumple que los dos límites expuestos anteriormente dan como resultado -\infty y +\infty respectivamente. Vemos su gráfica:
    Sin asíntotas horizontales
  2. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es sólo por un lado
    Como ejemplo tenemos la función f(x)=e^x. En este caso \displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=0}, por lo que y=0 es una asíntota horizontal de f(x) por la izquierda, y \displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty}, por lo que por la derecha no tenemos asíntota horizontal. Vemos su gráfica junto a su asíntota (en azul):
    Asíntota horizontal sólo por la izquierda
  3. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es por los dos lados
    Por ejemplo, f(x)=\textstyle{\frac{x}{x-1}}. En este caso, \displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=1}, por lo que la recta y=1 es asíntota horizontal de f(x) tanto por la izquierda como por la derecha. Vemos su gráfica junto a su asíntota (en azul):
    Asíntota horizontal por los dos lados
  4. Funciones que tienen dos asíntotas horizontales distintas
    Por ejemplo f(x)=\arctan{x} cumple que \displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=\textstyle{\frac{-\pi}{2}}}, por lo que y=\textstyle{\frac{-\pi}{2}} es asíntota horizontal de f(x) por la izquierda y \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=\textstyle{\frac{\pi}{2}}}, por lo que y=\textstyle{\frac{\pi}{2}} es asíntota horizontal de f(x) por la derecha. Podéis ver su gráfica junto a sus dos asíntotas (en azul) en la siguiente imagen:
    Dos asíntotas horizontales distintas

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales de una función son rectas verticales de la forma x=k. No hay restricciones en cuanto al número de asíntotas verticales que puede tener una función: hay funciones que no tienen asíntotas verticales, funciones que tienen sólo una, funciones que tienen dos y hasta funciones que tienen infinitas. Se calculan de la siguiente forma:
Si \lim_{x \rightarrow k^-} f(x)=\pm \infty, entonces x=k es asíntota vertical para f(x) (por la izquierda de la misma si el límite ha dado -\infty y por la derecha si el límite ha dado +\infty).
Si \lim_{x \rightarrow k^+} f(x)=\pm \infty, entonces x=k es asíntota vertical para f(x) (por la izquierda de la misma si el límite ha dado -\infty y por la derecha si el límite ha dado +\infty).
Una de las conclusiones que se pueden sacar a partir de esto es la siguiente: en las asíntotas horizontales planteamos siempre los mismos límites y el resultado es el que nos dice sin existen o no; sin embargo en las verticales nosotros tenemos que aportar los valores de k para los cuales calcular los límites. Evidentemente debemos aportar puntos para los cuales sea factible la existencia de asíntota vertical (no es demasiado aconsejable probar con valores al azar).
Los valores candidatos a existencia de asíntota vertical son los siguientes:
  1. Valores que anulan algún denominador de la función
    Por ejemplo, para f(x)=\textstyle{\frac{x}{x-1}} tenemos un candidato a asíntota vertical en el punto x=1.
  2. Extremos de intervalos del dominio que no pertenezcan al propio dominio
    Por ejemplo, el dominio de f(x)=x \, ln(x) es el intervalo (0,+\infty). Por tanto, x=0 es un candidato a asíntota vertical para esta función.
En consecuencia, lo primero que debemos hacer cuando tengamos que calcular las asíntotas de una función es calcular su dominio (fundamental para cualquier cálculo relacionado con la gráfica de una función) e igualar a cero todos los denominadores que aparezcan en la misma para recopilar todos los candidatos.
Vamos a ver algunos casos interesantes que pueden darse:
  1. Funciones que no tienen asíntotas verticales
    Por ejemplo, f(x)=sen(x) no tiene asíntotas verticales (su dominio es \mathbb{R} y no hay denominadores):
    Sin asíntotas verticales
  2. Funciones que tienen una asíntota vertical por los dos lados
    Por ejemplo, f(x)=\textstyle{\frac{x}{x+1}} tiene un candidato a asíntota vertical en x=-1 (anula el denominador). Si calculamos los límites que hemos comentado anteriormente obtenemos los siguientes resultados:
    \lim_{x \rightarrow -1^-} f(x)=+\infty
    \lim_{x \rightarrow -1^+} f(x)=-\infty
    Por lo tanto la recta x=1 es una asíntota vertical para f(x) por los dos lados. Lo vemos en su gráfica (la asíntota es la recta de color azul):
    Una asíntota vertical por los dos lados
  3. Funciones que tienen una asíntota vertical sólo por un lado
    Por ejemplo, f(x)=\textstyle{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}} tiene un candidato a asíntota vertical en x=0 (anula los dos denominadores que tiene la función). Calculamos los límites:
    \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=0
    \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=+\infty
    Por tanto la recta x=0 es una asíntota vertical para f(x) sólo por el lado derecho de la recta (por el lado por el que el límite correspondiente da \pm \infty). Vemos la gráfica de la función a la izquierda y a la derecha de x=0:
    Por este lado no hay asíntotaPor este lado sí hay asíntota
  4. Funciones que tienen infinitas asíntotas verticales
    Hemos comentado antes que una función puede tener cualquier número de asíntotas verticales. El caso posiblemente más curioso es el de una función que tenga infinitas asíntotas de este tipo. El ejemplo más conocido es el de la función f(x)=\tan(x). La razón es la siguiente:
    Como \tan(x)=\textstyle{\frac{sen(x)}{cos(x)}} tenemos que los candidatos a asíntota vertical de esta función son los valores que anulen el denominador.
    Por otra parte, la ecuación cos(x)=0 tiene infinitas soluciones, en concreto todos los números de la forma \textstyle{\frac{\pi}{2}}+n \pi con n\in\mathbb{Z}.
    Se puede comprobar de forma sencilla (con los límites anteriores) que f(x) tiene una asíntota vertical en cada uno de esos puntos, por lo que f(x) tiene infinitas asíntotas verticales. Lo vemos en su gráfica (las asíntotas en azul):
    Infinitas asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas (LAS VEREMOS EN EL TEMA DE REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES)

Las asíntotas oblicuas de una función son rectas oblicuas, es decir, rectas de la forma y=mx+n. Una función puede tener, como máximo, dos asíntotas oblicuas distintas (una por la izquierda de su gráfica y otra por la derecha de la misma). El cálculo de las mismas se realiza así:
Asíntota oblicua por la izquierda
m=\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}
Si m da un resultado distinto de {0} y \pm \infty prodecemos con el cálculo de n de esta forma:
n=\lim_{x \rightarrow -\infty} (f(x)-mx)
Si n da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni \infty ni -\infty), entonces la recta y=mx+n es una asíntota oblicua para f(x) por la izquierda.
Asíntota oblicua por la derecha
m=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}
Si m da un resultado distinto de {0} y \pm \infty prodecemos con el cálculo de n de esta forma:
n=\lim_{x \rightarrow \infty} (f(x)-mx)
Si n da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni \infty ni -\infty), entonces la recta y=mx+n es una asíntota oblicua para f(x) por la derecha.
Podemos encontrarnos entonces los siguientes casos:
  1. Funciones que no tienen asíntotas oblicuas
    Por ejemplo, la función f(x)=x^2 no tiene asíntotas oblicuas ya que al calcular m tanto por la izquierda como por la derecha obtenemos m=+\infty. Su gráfica es la parábola que nos solemos encontrar con más frecuencia:
    Sin asíntotas oblicuas
  2. Funciones que tienen una asíntota oblicua por los dos lados
    Por ejemplo, la función f(x)=\textstyle{\frac{x^2}{x-2}} tiene una única asíntota oblicua, que además lo es por los dos lados. Veamos cuál es exactamente dicha asíntota:
    m=\lim_{x \rightarrow -\infty} \textstyle{\frac{x^2}{x-2}}=1

    n=\lim_{x \rightarrow -infty} (f(x)-1 \cdot x)=2
    Por tanto la asíntota oblicua por la izquierda es y=x+2.
    Si realizamos los cálculos cuando x \rightarrow +\infty el resultado es el mismo. Por tanto la recta y=x+2 es asíntota oblicua de la función por los dos lados. Lo vemos en la siguiente gráfica (la asíntota oblicua en azul):
    Una asíntota oblicua por los dos lados
  3. Funciones que tienen una asíntota oblicua sólo por un lado
    Curioso caso, complicado de encontrar por otra parte. Un ejemplo (sacado de la entrada sobre asíntotas de la Wikipedia inglesa) puede ser la función f(x)=x^{\textstyle{\frac{|x|}{x}}}+\textstyle{\frac{1}{x}}. Su gráfica es:
    Una asíntota oblicua sólo por un lado
  4. Funciones que tienen dos asíntotas oblicuas distintas
    Aunque tampoco es fácil encontrar una función de este tipo, aquí os traigo una. Concretamente es la función f(x)=\sqrt{x^2-1}. Esta función tiene dos asíntotas oblicuas, a saber, la recta y=x y la recta y=-x. Las vemos en la siguiente gráfica en color azul junto a la gráfica de la propia función:
    Dos asíntotas oblicuas distintas