Blog de Mates: febrero 2017

Apuntes + ejercicios propuestos de DERIVADAS Y SUS APLICACIONES.

ASÍNTOTAS:

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales de una función son rectas horizontales de la forma $y=a$ . Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales: una por la izquierda (cuando $x \rightarrow -\infty$ ) y otra por la derecha (cuando $x \rightarrow \infty$ ). Se calculan de la siguiente forma:

Si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=a}$ , entonces $y=a$ es una asíntota horizontal para $f(x)$ (por la izquierda).
Si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=b}$ , entonces $y=b$ es una asíntota horizontal para $f(x)$ (por la derecha).

Por tanto podemos encontrarnos los siguientes casos:

Funciones que no tienen asíntotas horizontales
Por ejemplo, $f(x)=x^3$ cumple que los dos límites expuestos anteriormente dan como resultado $-\infty$ y $+\infty$ respectivamente. Vemos su gráfica:
Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es sólo por un lado
Como ejemplo tenemos la función $f(x)=e^x$ . En este caso $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=0}$ , por lo que $y=0$ es una asíntota horizontal de $f(x)$ por la izquierda, y $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty}$ , por lo que por la derecha no tenemos asíntota horizontal. Vemos su gráfica junto a su asíntota (en azul):
Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es por los dos lados
Por ejemplo, $f(x)=\textstyle{\frac{x}{x-1}}$ . En este caso, $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=1}$ , por lo que la recta $y=1$ es asíntota horizontal de $f(x)$ tanto por la izquierda como por la derecha. Vemos su gráfica junto a su asíntota (en azul):
Funciones que tienen dos asíntotas horizontales distintas
Por ejemplo $f(x)=\arctan{x}$ cumple que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=\textstyle{\frac{-\pi}{2}}}$ , por lo que $y=\textstyle{\frac{-\pi}{2}}$ es asíntota horizontal de $f(x)$ por la izquierda y $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=\textstyle{\frac{\pi}{2}}}$ , por lo que $y=\textstyle{\frac{\pi}{2}}$ es asíntota horizontal de $f(x)$ por la derecha. Podéis ver su gráfica junto a sus dos asíntotas (en azul) en la siguiente imagen:

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales de una función son rectas verticales de la forma $x=k$ . No hay restricciones en cuanto al número de asíntotas verticales que puede tener una función: hay funciones que no tienen asíntotas verticales, funciones que tienen sólo una, funciones que tienen dos y hasta funciones que tienen infinitas. Se calculan de la siguiente forma:

Si $\lim_{x \rightarrow k^-} f(x)=\pm \infty$ , entonces $x=k$ es asíntota vertical para $f(x)$ (por la izquierda de la misma si el límite ha dado $-\infty$ y por la derecha si el límite ha dado $+\infty$ ).
Si $\lim_{x \rightarrow k^+} f(x)=\pm \infty$ , entonces $x=k$ es asíntota vertical para $f(x)$ (por la izquierda de la misma si el límite ha dado $-\infty$ y por la derecha si el límite ha dado $+\infty$ ).

Una de las conclusiones que se pueden sacar a partir de esto es la siguiente: en las asíntotas horizontales planteamos siempre los mismos límites y el resultado es el que nos dice sin existen o no; sin embargo en las verticales nosotros tenemos que aportar los valores de $k$ para los cuales calcular los límites. Evidentemente debemos aportar puntos para los cuales sea factible la existencia de asíntota vertical (no es demasiado aconsejable probar con valores al azar).

Los valores candidatos a existencia de asíntota vertical son los siguientes:

Valores que anulan algún denominador de la función
Por ejemplo, para $f(x)=\textstyle{\frac{x}{x-1}}$ tenemos un candidato a asíntota vertical en el punto $x=1$ .
Extremos de intervalos del dominio que no pertenezcan al propio dominio
Por ejemplo, el dominio de $f(x)=x \, ln(x)$ es el intervalo $(0,+\infty)$ . Por tanto, $x=0$ es un candidato a asíntota vertical para esta función.

En consecuencia, lo primero que debemos hacer cuando tengamos que calcular las asíntotas de una función es calcular su dominio (fundamental para cualquier cálculo relacionado con la gráfica de una función) e igualar a cero todos los denominadores que aparezcan en la misma para recopilar todos los candidatos.

Vamos a ver algunos casos interesantes que pueden darse:

Funciones que no tienen asíntotas verticales
Por ejemplo, $f(x)=sen(x)$ no tiene asíntotas verticales (su dominio es $\mathbb{R}$ y no hay denominadores):
Funciones que tienen una asíntota vertical por los dos lados
Por ejemplo, $f(x)=\textstyle{\frac{x}{x+1}}$ tiene un candidato a asíntota vertical en $x=-1$ (anula el denominador). Si calculamos los límites que hemos comentado anteriormente obtenemos los siguientes resultados:

$\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x)=+\infty$
$\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x)=-\infty$

Por lo tanto la recta $x=1$ es una asíntota vertical para $f(x)$ por los dos lados. Lo vemos en su gráfica (la asíntota es la recta de color azul):
Funciones que tienen una asíntota vertical sólo por un lado
Por ejemplo, $f(x)=\textstyle{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}}$ tiene un candidato a asíntota vertical en $x=0$ (anula los dos denominadores que tiene la función). Calculamos los límites:

$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=0$
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=+\infty$

Por tanto la recta $x=0$ es una asíntota vertical para $f(x)$ sólo por el lado derecho de la recta (por el lado por el que el límite correspondiente da $\pm \infty$ ). Vemos la gráfica de la función a la izquierda y a la derecha de $x=0$ :
Funciones que tienen infinitas asíntotas verticales
Hemos comentado antes que una función puede tener cualquier número de asíntotas verticales. El caso posiblemente más curioso es el de una función que tenga infinitas asíntotas de este tipo. El ejemplo más conocido es el de la función $f(x)=\tan(x)$ . La razón es la siguiente:

Como $\tan(x)=\textstyle{\frac{sen(x)}{cos(x)}}$ tenemos que los candidatos a asíntota vertical de esta función son los valores que anulen el denominador.
Por otra parte, la ecuación $cos(x)=0$ tiene infinitas soluciones, en concreto todos los números de la forma $\textstyle{\frac{\pi}{2}}+n \pi$ con $n\in\mathbb{Z}$ .
Se puede comprobar de forma sencilla (con los límites anteriores) que $f(x)$ tiene una asíntota vertical en cada uno de esos puntos, por lo que $f(x)$ tiene infinitas asíntotas verticales. Lo vemos en su gráfica (las asíntotas en azul):

Asíntotas oblicuas (LAS VEREMOS EN EL TEMA DE REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES)

Las asíntotas oblicuas de una función son rectas oblicuas, es decir, rectas de la forma $y=mx+n$ . Una función puede tener, como máximo, dos asíntotas oblicuas distintas (una por la izquierda de su gráfica y otra por la derecha de la misma). El cálculo de las mismas se realiza así:

Asíntota oblicua por la izquierda
$m=\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}$

Si $m$ da un resultado distinto de ${0}$ y $\pm \infty$ prodecemos con el cálculo de $n$ de esta forma:
$n=\lim_{x \rightarrow -\infty} (f(x)-mx)$

Si $n$ da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni $\infty$ ni $-\infty$ ), entonces la recta $y=mx+n$ es una asíntota oblicua para $f(x)$ por la izquierda.
Asíntota oblicua por la derecha
$m=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$

Si $m$ da un resultado distinto de ${0}$ y $\pm \infty$ prodecemos con el cálculo de $n$ de esta forma:
$n=\lim_{x \rightarrow \infty} (f(x)-mx)$

Si $n$ da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni $\infty$ ni $-\infty$ ), entonces la recta $y=mx+n$ es una asíntota oblicua para $f(x)$ por la derecha.

Podemos encontrarnos entonces los siguientes casos:

Funciones que no tienen asíntotas oblicuas
Por ejemplo, la función $f(x)=x^2$ no tiene asíntotas oblicuas ya que al calcular $m$ tanto por la izquierda como por la derecha obtenemos $m=+\infty$ . Su gráfica es la parábola que nos solemos encontrar con más frecuencia:
Funciones que tienen una asíntota oblicua por los dos lados
Por ejemplo, la función $f(x)=\textstyle{\frac{x^2}{x-2}}$ tiene una única asíntota oblicua, que además lo es por los dos lados. Veamos cuál es exactamente dicha asíntota:

$m=\lim_{x \rightarrow -\infty} \textstyle{\frac{x^2}{x-2}}=1$

$n=\lim_{x \rightarrow -infty} (f(x)-1 \cdot x)=2$

Por tanto la asíntota oblicua por la izquierda es $y=x+2$ .

Si realizamos los cálculos cuando $x \rightarrow +\infty$ el resultado es el mismo. Por tanto la recta $y=x+2$ es asíntota oblicua de la función por los dos lados. Lo vemos en la siguiente gráfica (la asíntota oblicua en azul):
Funciones que tienen una asíntota oblicua sólo por un lado
Curioso caso, complicado de encontrar por otra parte. Un ejemplo (sacado de la entrada sobre asíntotas de la Wikipedia inglesa) puede ser la función $f(x)=x^{\textstyle{\frac{|x|}{x}}}+\textstyle{\frac{1}{x}}$ . Su gráfica es:
Funciones que tienen dos asíntotas oblicuas distintas
Aunque tampoco es fácil encontrar una función de este tipo, aquí os traigo una. Concretamente es la función $f(x)=\sqrt{x^2-1}$ . Esta función tiene dos asíntotas oblicuas, a saber, la recta $y=x$ y la recta $y=-x$ . Las vemos en la siguiente gráfica en color azul junto a la gráfica de la propia función: